ФОРМИРОВАНИЕ КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТЫ НА МАРШЕВОМ УЧАСТКЕ ПОЛЕТА

При формировании контуров телеуправления на мар­шевом участке полета может оказаться целесообразным использование оценки скорости ракеты v [26]. Это имеет большое значение, во-первых, потому, что в системе ста­билизации в каналах управления отсутствуют сильные обратные связи пО ускорению, и скорость ракеты непо­средственно определяет величину коэффициента усиле­ния контура наведения. И, во-вторых, даже при нали­чии жестких обратных связей контуров стабилизации возникает необходимость компенсации продольных ус-
корений ракеты [24]. Однако использовать v для управ­ления достаточно сложно, так как вычисление скорости по априорным номинальным характеристикам ракеты и параметрам движения может привести к значительным систематическим ошибкам, а по замерам координат — к флюктуационным ошибкам. Замеры координат с флюк туационными ошибками приводят к уменьшению коэф­фициента усиления контура и, следовательно, увеличи­вают величину пролета ракетой цели. Если использовать скорость ракеты в виде априорно рассчитанной средней характеристики по режимам наведения, то при отсутст­вии стабилизации по ускорению возникает систематиче­ская ошибка

Ссист(^р> V, К, /р. н.)»

где цр — истинное значение скорости ракеты на марше­вом участке полета;

v — измеренное значение скорости на маршевом участке полета;

К — коэффициент усиления контура;

/р. н. — потребное значение ускорения ракеты на мар-

При использовании измерений координат скорость ракеты может быть определена как

(4. 103)

где х* и у*— оценки производных измеряемых коорди

Если измеряемыми являются декартовые координаты X VL у с ошибками в виде «белых шумов», то і* и у* в простейшем случае для реализации на аналоговых устройствах могут быть получены оптимальным диффе­ренцированием х — и у. Например, если х и у можно пред­ставить на интервале Т в виде полинома первого по­рядка

2а2 s

(5 а) (s — f 2а)

и полинома второго порядка

>(„*) г,1 (4o2S + Ваз) s

(s Ч- a) (s + 2а) (s + 4а) ’

а=/(7’).

При измерении-полярных координат ракеты

x=Dcoss; y=Dsine. (4.106)

x=D cose — Dsins-г; y = bsn&-]-D cos s-e. (4.107)

Представляя D и є на интервале Т в виде полинома по времени, можно получить є*, D*, є*, D* оптимальным сглаживанием и дифференцированием их измеренных значений.

Формула сглаживания для полинома первого поряд­ка может быть представлена в виде

Sets Ч~ 2а2 в (5 а) (s -}- 2а)

для полинома второго порядка

Дифференцирование ей D производится аналогично (4.104) и (4.105) .

Получив є*, е*, D*, D* из выражения (4.107) опреде­ляем значения х* и у*, а затем по формуле (4.103) — скорость объекта. Точность оценки скорости в рассмот­ренных вариантах может быть приближенно определена по (линеаризованным выражениям (4.103) и (4.107).

При измерении декартовых координат объекта, лине­аризуя выражение (4.103), получим

где Ф — , Ф-—оптимальные дифференциаторы (4.104), (4.105);

Nl, N*— уровни «белых шумов» в координа­тах х и у;

х0, Уо, — расчетные при номинальных условиях па­раметры траектории.

При измерении полярных координат ракеты є и D с ошибками в виде некоррелированных «белых шумов» с уровнями./V2 и N%, линеаризуя выражения (4.107) и (4.103), получим

оо

3=-^ {(— sin s0s0io+COse0s0i)0)2-^ Г|Фд(<о)12аГ<о+

V0 о

+ ( — £)„ §in t0x0 — D0 cos е0ё0д;0 + D0 cos z0y0 —

— D0 sin e0e0y0)2 —і j |Фе (<o)|2 rf<o +

0

N2 00

+ (*o COSs; + y0 sin e0)2 —J

0

2 ^

+ (— О09Іп s0*o + A>COS z0y0)2—[ ІФ — (o>)|2rf<o +

3T J 0

4-

-f ( — sin £0x0s0 + COS S0s0y0) (*0 COS eo + y0 sin Є0) X N2 60

x — 5 |®o (“) ФЬ (®)|rf« + (- A> sin S0i0 —

, 0

~Do cos so£ox0 + D0 cos eoy0— D0 sin Є0e0if0) (- D0 sin e0JC0+ N2 00 )

+ Do COS z0y0) -L J |Ф, («) Ф • (ш)| , (4.111)

0 J

Приведенные выше соотношения для определения ско­рости ракеты могут быть реализованы достаточно просто с помощью аналоговых устройств [27].

В системах наведения, использующих в качестве вы­числителя управляющих команд цифровые машины, мо­жет быть применена более сложная обработка измеряе­мых координат с учетом нестационарное™ объекта, что во многих случаях может улучшить точность определе­ния скорости.

Рассмотрим алгоритм определения скорости ракеты, построенный на основе цифрового фильтра Калмана [10].

Запишем уравнения скорости в проекциях на оси хм у:

)см-е

(4.112)

де Сх — индуктивное сопротивление ракеты.

Сделаем допущения:

с, ин~/2(0а2;

совЄ^/3(і); sin0?t;/4(*).

Выражение (4. 113)’в большинстве случаев выпол­нимо, так как характеристика СХо на ограниченном ин­тервале хороша аппроксимируется как klv. Траекторные параметры могут быть заданы по расчетной точке встре­чи.

Так как угол атаки ракеты практически определить очень трудно, СЖин целесообразно задавать априорно.

Задание выражений (4.115) в виде f$(t) и f4(t) позво­ляет полностью линеаризовать уравнения (4.112). Если траекторный угол 0 вычислять по системе уравнений, описывающих движение объекта, получаемый алгоритм управления сильно усложняется и его трудно реализовать даже в ЦВМ, а выигрыш в точности при этом будет незначительным. Дело в том, что все равно необходимо
линеаризовать уравнения объекта и задаваться априорно значением а2, а это связано с систематическими погреш­ностями системы, которых можно избежать только огра­ничением интервала наблюдения.

Перепишем уравнения (4.112) в линеаризованном виде

^-~5і(0-^+(Гн+дГ)?2(/)-ї3(^)а2; (4.116)

=64(0 +(ГВ + дп 5. (/)— 5в СО <**—ST. (4.117)

Гя — номинальное значение тяги двигателя объекта.

Уравнения (4.116) и (4.117) независимы, следова­тельно, алгоритмы определения vx и vv можно рассмат­ривать изолированно.

Определим vx, х и vx. vx обычно определяют для на­хождения момента отсечки тяги двигателя, прогнозиро­вания траектории объекта и компенсации продольных ускорений.

Уравнение цифрового фильтра Калмана в векторной форме имеет вид [10]:

•Хпіп ■== ФЛ-п—1 /л—1 ~~Pn/nff R * %п НФХп—1/л—l]

Р п! п— Pn/n—l Pnln-lH X | (4 118)

X [HPn! n-xHT + R]-xHPn, n-i

Pnin-i—фрл_і/я_іФг + rqrT.

Определим в рассматриваемом случае матрицы, вхо­дящие в (4.118).

Напишем уравнение (4.116) в виде системы двух уравнений первого порядка

S. W A7’-S1(*K+7’AW-?s(0a2; (4. 119)

Очевидно, что уравнение (4.116) могло быть распи­сано и в виде системы трех дифференциальных уравне­ний для определения vx, однако в этом случае существен­но усложняются алгоритмы получения оценок коорди­нат. Учет же априорных сведений о модели ракеты при вычислении высоких производных мало эффективен.

Выделим из уравнения (4.119) опорное движение, т. е. движение при номинальной тяге двигателя Тн.

Тогда получим

йг, = —Si(*)‘DJr1 +13(0Д7” — ?з(0«2. (4.120)

xx=vXl,

где vXt и х{—отклонения проекции скорости и коорди­наты от их значений при невозмущенном движении с но­минальной тягой двигателя.

Заменим производные координат их первыми разно­стями и приведем систему уравнений (4.120) к виду

(4. 121)

-*4/2+1 =Xln -f — VjcinX‘,

х — дискретность замеров координаты.

Матрица объекта Ф системы уравнений (4.121) мо­жет быть представлена как

Транспонированная матрица

фГ=(1 ^ J). • (4.123)

Матрица дисперсий начальных условий

Так как измеряется только координата х, матрицы Н и Нт соответственно имеют вид

Я=( 0 1); (4.125)

. (4.126)

Матрица точности измерений и обратная матрица об­

ращаются в числа:

/? = а*2; /Г1 = 4-. (4.127)

Матрица Г($ГТ определяет увеличение дисперсионной матрицы Рп/п, а следовательно, и веса непосредственных измерений гп при получении оценки за счет возмущений. В рассматриваемом. случае к возмущениям сводятся

ошибки, связанные с допущениями (4.113-^-4.115), а так­же разбросы тяги двигателя и угла атаки ракеты.

Учет возмущений практически эквивалентен ограниче­нию интервала обработки измерений. Так как отмечен­ные возмущения определить достаточно сложно, целесо­образно опустить в третьем уравнении (4.118) матрицу * rQTT, а по истечении времени Т, при котором системати­ческие ошибки в определяемых координатах еще не вы­ходят ИЗ допустимых пределов, ПОЛОЖИТЬ Рп /п = const.

В этом случае, наряду с ограничением Т, существенно упрощается реализация фильтра при t>T.

Определим матрицы Рп/п-1 и Р„/га в процессе насы­щения фильтра, т. е. при Pntn<P = const, характеризу­ющей заданную «память» Т:

Рпп -1 = ФРп-Цп-іФТ>

/>1 0 = ф/>0;0фг.

Перемножая выражения (4.122), (4.124) и (4.123), по­лучаем (1-s. T) о ■** / (4.128) Матрица Р( і определяется как Pin = Pl/o — Pyokyi = Руо [ 1 — Pl/(A/l], (4.129) &1/1:

где

kn і п — частное от деления единицы на сумму элемента С22 матрицы Рп/п-1 и дисперсии измерения координа­ты х;

С22 ^22»

Ьп и Ь22 — диагональные элементы матрицы щ-л.

Так как в рассматриваемом случае измеряется толь­

ко координата х, произведение матриц НФхп-і п- об­ращается в число

а л л

#ФЛГЙ_1/Л—1 —Х^хх Л—1//г—1 — f — Х я—1/л—1 —

На первом шагу вычислений

t°xl% = ‘Vxl0-

Х% = Л

Матрица PnjnHT является матрицей-столбцом, эле­менты которой равны элементам второго столбца матри­цы Рп п*

д Хгп, п =

(4.131)

или

A

хіП=а22д:іЛ + (а12т — a22 + a22^t) хіП-г +

л л

(2 — «22) і (1 «22 ^1^ ~Ь «22^1^) п—2•

(4. 132)

л л

®лг, я = «12 (*, я — -*,я-і)+(2 — $хт’— а12т — а22) г;^, —

л

— (1 — — а22 + а22^т) vXt„-2.

На рис. 4.20 приведена структурная схема получения оценок скорости объекта vx и координаты х. хн, vH — ко­ордината х и скорость vx, вычисляемые при номиналь­ных параметрах тяги двигателя.

Таким образом, координаты vx и х определены. Ана­логично могут быть вычислены vv и у.

Следует отметить, что реализация цифрового фильт­ра описанным выше способом на отрезке времени, при котором Р„/ n>Pi, т. е. при нарастании памяти до задан­ного значения Т, может оказаться неприемлемой из-за больших флюктуационных ошибок в определяемой вели­чине и как следствие в пролетах и перегрузках объекта.

В этом случае целесообразно форсировать выход фильтра на режим Pn/n—Pi, например, способом, опи­санным в 4.3.

Рис. 4.20. Блок-схема определения оценок ко­ординаты и скорости объекта

Тогда скорость объекта определится как

А А

®r, i =0; vXl2 =vXl2]

л

‘Ож. з = ^,3ta12+(2 — £]Т — а12т—а22) z>,l2 —

— (1 — — а22+а^т) (2vXt2 — vx,3)

и далее по формуле (4.132).

При такой реализации оптимального фильтра диспер­сия оценки vXl значительно быстрее достигает своего установившегося значения. Однако, если при получении оценки vXt по формуле (4.132) практически отсутствуют систематические ошибки, в этом случае они значительны и близки в начальный момент дисперсии измерений. За время Т эти ошибки система отрабатывает.

Выше уже говорилось, что в объектах со слабыми обратными связями по ускорениям от скорости объекта непосредственно зависит коэффициент усиления системы.

Случайные ошибки измерения х и у’ через v могут привести к появлению случайной составляющей коэффи­циента усиления системы К. Дисперсии пролета и уско-

рения ракеты могут быть в этом случае приближенно оценены по соотношениям (4.73), (4.74).

При наличии в системе стабилизации ракеты сильных обратных связей по ускорениям это влияние существенно меньше.

Одной из основных особенностей рассматриваемого класса ракет является наличие при управлении больших продольных ускорений jx. Влияние jx на ускорение в пло­скости управления в системах наведения достаточно точно может быть определено как

УР ж = sin (6р — Ео); (4.133)

со — угол, определяющий направление в фактическую точку встречи.

При этом jpx в зависимости от знака v приводит к увеличению или уменьшению /р, что связано с перерегу­лированиями, либо с затягиванием переходных процес­сов отработки входных сигналов. Если в системах само­наведения компенсация влияния /рзс легко осуществима, так как реализуется по измеренным на борту продоль­ной перегрузке и углу пеленга, в системах теленаведения необходимо на земле вычислять Vp и 0Р, что связано с дифференцированием координат.

Выше рассматривались алгоритмы получения скоро­сти. ТраеКторный угол ракеты определяется как

0Р—arctgg—^ . (4.134)

v vx vx

Ускорение ракеты может быть получено дифференци­рованием оценки скорости или непосредственно двойным дифференцированием измеряемых координат.

Следует отметить, что компенсация продольного уско­рения, даже если она выполнена достаточно точно, тре­бует дополнительных перегрузок, что снижает качество управляемости. Если потребовать, чтобы ракета наводи­лась в фактическую точку встречи, продольное ускоре­ние влиять не будет, так как в этом случае

Вычисление фактической точки встречи связано с про­лонгацией и совместным решением уравнений движения цели и ракеты.

Для цели прогнозированные значения ее декартовых координат могут быть определены экстраполяцией их на момент встречи tK, т. е.

где Хц, Хц, и т. д. — оптимально вычисленные фазовые координаты цели.

Повидимому, целесообразно ограничиться двумя чле­нами выражения (4.135), так как вычисление более вы­соких производных связано с большими случайными ошибками. Маневр цели вызовет дополнительную по­требную перегрузку объекта, однако углы (0Р—ео) при этом, как правило, невелики.

Непосредственное совместное решение уравнений движения цели и ракеты приводит к итерационным про­цессам вычислений, а потому нежелательно.

Рассмотрим следующий способ прогнозирования дви­жения ракеты и определения оставшегося до точки встречи времени tK—t. Перед стартом, решая совместно уравнения Dn(t) и Dp(t) и используя номинальные ха­рактеристики объекта, определяем предполагаемое по­летное время tK до точки встречи. При этом могут быть использованы численные методы интегрирования урав­нений движения.

В процессе наведения уточняется оставшееся время tu-t:

Д£>к і

»

^сбл. ср і

tKi=tx (/-1)+ Д^кі,

где дDK, — разность прогнозируемых дальностей цели и объекта на время t;

т>сбл. сР — средняя£скорость сближения. Прогнозируемые значения дальностей цели и ракеты определяются следующим образом:

dwp-=d; (г_і)-/)2+.

(4. 137)

<к<г-і)

^рпр=A>i+ f ‘°Рг^+—*

І

Скорость объекта уточняется относительно номиналь­ных значений по текущим измерениям. Точность вычис­ления практически целиком определяется точностью оп­ределения тяги двигателя Т.

Начальная дальность Dpi и тяга Ті ракеты вычисля­ются изложенным выше способом.

G(t), Q(t), Q(t), СХш (t) целесообразно программиро­вать по времени в зависимости от траектории движения при номинальных параметрах. На конечном участке наведения будем переходить на вычисление полетного времени по упрощенной зависимости

■ |дЬ| ’

так как, если на начальном участке ошибки в определе­нии tv на точность системы влияют косвенно через до­полнительные перегрузки объекта, в конце наведения они непосредственно определяют пролеты.

В уравнении (4.112) СХо и СХш в основном влияют на характеристики объекта. Составляющая сопротивле­ния Схо связана с заданной траекторией движения объ­екта. Индуктивное сопротивление Сх ин зависит от управ­ления объектом при выполнении заданной траектории и может достигать существенных значений. При задан­ном методе наведения определение управления с учетом интегральных ограничений приводит к минимизации ин­дуктивного сопротивления объекта. Поэтому целесооб­разно уменьшать индуктивное сопротивление ракеты [14].

Глава V